摘 要：將板料的激光三維成形視為V形激光彎曲成形的復(fù)合，分析了曲面筒形件與V形彎曲件的幾何相關(guān)性，建立了用點(diǎn)坐標(biāo)表示的弧面曲率表達(dá)式。以工件的曲率半徑為優(yōu)化目標(biāo)，有限元軟件包ls-dyna3D作為目標(biāo)函數(shù)解算器，并結(jié)合遺傳算法，求出了優(yōu)化的工藝參數(shù)及其各成形瞬時(shí)的位移場(chǎng), 并與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)照。
關(guān)鍵詞：板料；激光成形；三維；工藝優(yōu)化

1．引言

板料激光成形的基本形式是成形V形彎曲件[1]，但在實(shí)際生產(chǎn)中，大量的是具有三維形狀的異形件。因此，激光三維成形逐漸成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和趨勢(shì)[2,3]。激光三維成形可以視為簡(jiǎn)單彎曲成形的組合，同一塊板料上不同走向、不同角度、不同長(zhǎng)度的多個(gè)彎曲成形可以使板料成形為復(fù)雜的三維形狀。文中采用漸進(jìn)式激光成形的方法，通過(guò)多次V形彎曲，得到了符合要求的筒形件。

2.幾何相關(guān)性分析

用激光成形正多面體筒形件，可以看作板料的多次激光彎曲，此時(shí)掃描軌跡為一系列相互平行的直線。從圖1可以看出，筒形件的高取決于成形前板料的寬度，多面體的邊長(zhǎng)取決于兩次掃描線的間距L,每次掃描的成形角度決定了多面體的邊數(shù)，其中邊數(shù)和成形角度存在如下關(guān)系：

圖1 筒形件成型幾何相關(guān)性示意圖

其中，n為多面體的邊數(shù)，а為沿同一位置進(jìn)行掃描的成形角度。因此，選取合適寬度的板料，精確控制掃描的間距和在每個(gè)位置掃描的成形角度，可以成形任意高度，任一邊數(shù)n和邊長(zhǎng)L的多面體筒形件。

激光成形不僅可以成形由平面V形彎曲構(gòu)成的三維形狀，合理地控制激光成形的工藝參數(shù)和掃描路徑，還可以成形更復(fù)雜的曲面。和機(jī)械彎曲一樣，激光彎曲成形也存在一個(gè)彎曲半徑的問(wèn)題。在用模具進(jìn)行V形彎曲時(shí)，為了保證材料不發(fā)生斷裂等缺陷，必須保證相對(duì)彎曲半徑大于板料的最小相對(duì)彎曲半徑。因此使用模具彎曲成形的工件，彎曲角度的頂端不是尖銳的，而是有一定的曲率半徑的圓弧。激光彎曲成形在加熱狀態(tài)下進(jìn)行，相對(duì)彎曲半徑可比機(jī)械彎曲更小一些。但是由于成形板料始終只受熱應(yīng)力作用，不受外界的約束，在整個(gè)變形區(qū)形成光滑的曲線過(guò)渡，而不是成形一個(gè)尖銳的角，曲率半徑較機(jī)械彎曲反而可以更大一點(diǎn)兒。我們把激光彎曲成形的圓弧區(qū)定義為變形區(qū)，它是以激光的掃描路徑為中心的帶狀區(qū)域。可以利用該變形區(qū)的曲率半徑擬合三維曲面的曲率半徑，以成形三維曲面形狀。顯然，當(dāng)掃描間距L大于變形區(qū)時(shí)，兩次掃描路線之間有一段板料沒(méi)有發(fā)生變形，保持板料原有的平面，而變形區(qū)則形成了棱邊；當(dāng)掃描間距小于變形區(qū)時(shí)，兩次掃描的變形區(qū)相互影響、相互疊加形成了光滑的曲面。

激光成形的彎曲半徑可以直接在試樣上測(cè)得，也可以根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果，用數(shù)學(xué)的手段求得。下面對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo)。曲率表示了一段曲線y=f(x)的彎曲程度，它被定義為一段圓弧的切線轉(zhuǎn)角△α和圓弧的長(zhǎng)度△s的比值，記作

被稱為這段曲線的平均曲率。當(dāng)△s→0時(shí)，如果平均曲率的極限存在，則稱此極限為曲線y=f(x)在該點(diǎn)的曲率，記作

曲率半徑被定義為曲率的倒數(shù)，

在數(shù)值模擬中，首先提取板料變形區(qū)內(nèi)的一系列長(zhǎng)度方向上相鄰節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)（xn, yn），然后利用數(shù)值微分公式求得y'n，y"n，進(jìn)而求得各點(diǎn)的曲率半徑R，取平均值作為板料的彎曲半徑。

3 用激光成形三維曲面及其加工工藝優(yōu)化

由于激光成形的變形區(qū)在微觀上呈現(xiàn)為具有一定彎曲半徑和一定寬度的帶狀小曲面，因此，可以通過(guò)控制激光成形的工藝參數(shù)，以改變變形區(qū)的曲率半徑和寬度，將不同曲率半徑的小曲面組合起來(lái)就可以構(gòu)成不同的三維曲面形狀。

激光成形三維曲面的基本思路，是利用激光成形時(shí)變形區(qū)的形狀特點(diǎn)，首先通過(guò)幾何相關(guān)性研究，將要成形的三維曲面形狀，分解為一系列激光彎曲可以成形的小曲面；然后制定相應(yīng)的成形工藝，控制變形區(qū)的平均曲率半徑，使之與要成形的三維曲面的曲率半徑一致。每一次掃描可以成形部分曲面，通過(guò)多次掃描，采用漸進(jìn)成形的方法，得到的要求的整個(gè)三維形狀。 由此可見(jiàn)，激光成形三維曲面形狀精度，主要是由激光成形的彎曲半徑?jīng)Q定。激光成形的彎曲半徑與待成形的三維曲面的曲率半徑越接近，成形精度越高。為控制激光成形的彎曲半徑，將該曲率半徑作為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳優(yōu)化算法，對(duì)激光成形的工藝參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。

曲率半徑的優(yōu)化模型如下：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：T(P,D,V)max
式中 R——一組優(yōu)化參數(shù)所對(duì)應(yīng)的激光彎曲成形的彎曲半徑
R0——工藝要求的筒形件半徑
P——激光功率，（W）
D——光斑直徑，（mm）
V(mm/s)為掃描速度，(mm/s)
Tmax——成形過(guò)程中板料上的溫度峰值，同樣是工藝參數(shù)的函數(shù)
T——板料微觀組織不被破壞時(shí)的最高溫度

當(dāng)然，R取決于變形量，它是很多工藝參數(shù)的函數(shù)，此處僅考慮主要工藝參數(shù)P、D、V。設(shè)計(jì)變量P、D、V的取值約束由具體的加工條件決定。

采用優(yōu)化算法對(duì)上述的優(yōu)化模型進(jìn)行求解[4-6]，其中數(shù)值計(jì)算采用了有限元軟件包ls-dyna3D,優(yōu)化流程見(jiàn)圖2。 用優(yōu)化得到的工藝參數(shù)進(jìn)行彎曲成形，其彎曲半徑與工藝要求一致。至此，我們就可以基于三維曲面的幾何相關(guān)性分析，將三維曲面分解為激光可以成形的小曲面；然后采用上述的優(yōu)化方法得到成形小曲面的工藝參數(shù)，進(jìn)行多次掃描加工，最終成形工藝要求的三維曲面形狀。

圖2. 工藝優(yōu)化計(jì)算流程

4 成形工藝制定算例

應(yīng)用上述方法，對(duì)08F薄鋼板試樣利用激光彎曲成形制作弧面圓筒件。板料寬度為50mm，厚為2mm，弧面圓筒件的半徑為600mm。

4.1幾何相關(guān)性分析和工藝路線的確定

圓筒形工件的幾何形狀比較簡(jiǎn)單,由于各處的曲率半徑相同，可以將其分割成一系列等寬度、等曲率半徑的條形曲面，然后進(jìn)行漸進(jìn)成形，反映在成形工藝上就是在金屬板料上進(jìn)行多次沿平行直線的掃描，將激光成形變形區(qū)依次拼接起來(lái)構(gòu)成圓筒件。其工藝參數(shù)就是成形的彎曲半徑等于圓筒件半徑時(shí)的工藝參數(shù)，它可由前述優(yōu)化算法求得；掃描間距由每次成形時(shí)變形區(qū)的寬度決定,變形區(qū)的寬度可以根據(jù)成形的角度和彎曲半徑求得，其關(guān)系式為

l = R * α

式中 l——變形區(qū)的寬度
R——彎曲半徑
α——成形角度

4.2工藝參數(shù)的優(yōu)化和加工工藝的制定

采用前述優(yōu)化模型，優(yōu)化激光成形的工藝參數(shù)，使激光彎曲成形的彎曲半徑等于成形工件的曲率半徑600mm。由于長(zhǎng)度方向尺寸對(duì)激光成形的影響不大，因此，優(yōu)化求解時(shí)板料長(zhǎng)度方向的尺寸只要略大于激光成形的熱影響區(qū)即可，在本例中取80mm。優(yōu)化變量的取值范圍如下：

P： 100～3000 （W）
D： 1.0～10.0 （mm）
V： 10～1000 （mm/s）
且T(P,D,V)max<1000℃

優(yōu)化得到的最佳工藝參數(shù)為P=1255.3W，D=3.176mm，V=51.4mm/s，對(duì)應(yīng)的彎曲半徑為599.068mm，非常接近目標(biāo)值，能夠滿足工藝要求。

得到了一次成形的工藝參數(shù)就可以制定整個(gè)圓筒件的加工工藝，每步的工藝參數(shù)為P=1255.3W、D=3.176mm、V=51.4mm/s，掃描間隔由式（1）求得，為5.8mm。為保證優(yōu)化計(jì)算時(shí)和實(shí)際加工時(shí)溫度傳遞條件相同，在實(shí)際加工時(shí)，初始掃描位置離開(kāi)板料的邊緣一段距離。以此工藝參數(shù)在寬為60mm的板料上進(jìn)行平行直線掃描，直到完全成形圓筒件為止。圖3表示了采用該組工藝參數(shù)在矩形板料上用ls-dyna3D進(jìn)行數(shù)值模擬所得到的29.1s時(shí)的位移場(chǎng)，可以看出板料成形了規(guī)則、圓滑的圓弧面。

圖3 用ls-dyna3D進(jìn)行數(shù)值模擬得到的位移場(chǎng)

4.2 實(shí)驗(yàn)對(duì)比

圖4中為采用漸進(jìn)式激光三維成形所得到的工件,上為弧面件，下為多面體形件，從圖中弧面件可以看出，成形區(qū)的曲面形狀非常圓滑，在一定程度上表明了激光彎曲成形對(duì)三維曲面的擬合能力。對(duì)按優(yōu)化的工藝參數(shù)所加工的工件的實(shí)測(cè)表明，弧面件變形區(qū)弦長(zhǎng)的有限元計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差為-6.5%，弓形高的相對(duì)誤差為14%。誤差的產(chǎn)生可能出于以下原因：材料高溫時(shí)的熱學(xué)性能和力學(xué)性能參數(shù)取得不準(zhǔn)確；激光掃描時(shí)材料的熱吸收率可能是隨溫度變化而變化的，由于熱吸收率的變化規(guī)律無(wú)資料可查，在計(jì)算時(shí)按恒量進(jìn)行了選?。粚?shí)際工況與計(jì)算工況不一致的其它原因。但是，我們?nèi)杂欣碛上嘈牛ㄟ^(guò)對(duì)復(fù)雜幾何形狀的幾何相關(guān)性分析，以及對(duì)激光成形形狀的進(jìn)一步準(zhǔn)確控制，激光成形完全可以更精確地成形更為復(fù)雜的三維形狀。

圖4 激光成形三維曲面形狀

5 結(jié)論

（1） 將曲面筒形件的激光成形視為V形彎曲變形的復(fù)合，并量化了其幾何相關(guān)性。當(dāng)激光掃描間距大于變形區(qū)寬度時(shí)，則形成多面體筒形件，小于或等于該寬度時(shí)則形成光滑曲面的筒形件。
（2） 用變形區(qū)中特征點(diǎn)的坐標(biāo)表示了變形區(qū)的曲率，并將曲率半徑作為優(yōu)化目標(biāo)，用有限元軟件結(jié)合遺傳算法，求出了用寬度為50mm厚為2mm的08F鋼板成形半徑為600mm的弧面的工藝參數(shù)，解決了給定變形量設(shè)計(jì)工藝參數(shù)的難題。
（3） 按照選定的工藝參數(shù)進(jìn)行了實(shí)際加工，制作出了表面光滑的弧面件，變形區(qū)弦長(zhǎng)及弓形高的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的相對(duì)誤差分別為-6.5%和14%，在數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)兩方面表現(xiàn)了激光彎曲對(duì)三維曲面的擬合能力。
（4） 該方法可以推廣到S形工件甚至更復(fù)雜工件的成形中。